Question

如图，正方形A₁B₁B₂C₁，A₂B₂B₃C₂，A₃B₃B₄C₃，…，A_nB_nB_n+1C_n，按如图所示放置，使点A₁、A₂、A₃、A_4、…、A_n在射线OA上，点B₁、B₂、B₃、B_4、…、B_n在射线OB上．若∠AOB=45°，OB₁=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S₁，S₂，S₃，…，S_n，则S_n=

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：规律型

分析：根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质可得A₁C₁=A₁B₁=OB₁=1，然后求出A₂B₂，同理得到A₂C₂=A₂B₂=OB₂=2，求出A₃B₃，A₃C₃=A₃B₃=OB₃=4，…表示出第n个阴影部分的三角形的直角边A_nC_n，再根据三角形的面积公式列式整理即可得解．

解答：解：∵正方形A₁B₁B₂C₁，∠AOB=45°，
∴A₁C₁=A₁B₁=OB₁=1，
∴A₂B₂=1+1=2，
同理可得A₂C₂=A₂B₂=OB₂=2，
所以，A₃B₃=1+1+2=4，
A₃C₃=A₃B₃=OB₃=4，
…，
所以，第n个阴影部分的三角形的直角边A_nC_n=2^n-1，
所以，S_n=

1

2

×2^n-1×2^n-1=2^2n-3．
故答案为：2^2n-3．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记各性质并表示出相等的线段从而得到阴影部分三角形的直角边是解题的关键．