Question

8．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，点A的坐标是（3，1），连接OA．
（1）线段OA的垂直平分线与x轴交点的横坐标是$\frac{5}{3}$；
（2）在网格中用2B铅笔画出线段OA绕点O逆时针方向旋转90°后的对应线段OB，连接AB，求AB的长；
（3）在（2）的条件下，若△A′OB′与△AOB位似，点O是位似中心，点A的对应点是点A′，且A′B′=$\sqrt{5}$，则点A′的坐标是（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理得出AO的长，再利用锐角三角函数关系得出DO的长；
（2）利用旋转的性质得出B点位置进而得出AB的长；
（3）利用位似图形的性质，得出点A′的坐标有2个．

解答 解：（1）作OA的垂直平分线CD，交x轴于点D，
∵AO=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，则OC=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故cos∠AOD=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{DO}$，
解得：OD=$\frac{5}{3}$，
则线段OA的垂直平分线与x轴交点的横坐标是：$\frac{5}{3}$；
故答案为：$\frac{5}{3}$；

（2）如图所示：
∵OA=$\sqrt{10}$，
在△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO，
由勾股定理得：AB²=AO²+BO²=20，
则AB=2$\sqrt{5}$；

（3）∵△A′OB′与△AOB位似，点O是位似中心，点A的对应点是点A′，且A′B′=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{A′B′}{AB}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
则点A′的坐标是：（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
故答案为：（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）或（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．

点评 此题主要考查了旋转变换以及位似变换的性质，正确掌握位似图形的性质是解题关键．