Question

【题目】如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．

（1）求证：AC＝CF；

（2）若AB＝4，sinB，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）EF

【解析】

（1）先根据圆的切线性质和圆周角定理得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后由圆周角定理可得，等量代换得，最后根据等角对等边即可得证；

（2）由相似三角形的判定定理可得，再由相似三角形的性质得，由题（1）可知，因此只需求出BE的长即可；在中，解直角三角形可得BD和AD的长，然后在中，解直角三角形可得CD的长，从而可得DE的长，最后根据线段的和差可得BE的长.

（1）∵AD是⊙O的切线

∵AB是⊙O的直径

是等腰三角形，且

（等腰三角形的三线合一性质）

又（圆周角定理）

；

（2）由（1）可知，

在中，

设，则

在中，，即

，即

又

故EF的长为.