Question

5．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．

Answer 1

分析 由中点的性质可得出EF∥CD，且EF=$\frac{1}{2}$CD=BG，结合平行即可证得②结论成立，由BD=2BC得出BO=BC，即而得出BE⊥AC，由中线的性质可知GP∥BE，且GP=$\frac{1}{2}$BE，AO=EO，通过证△APG≌△EPG得出AG=EG=EF得出①成立，再证△GPE≌△FPE得出④成立，此题得解．

解答 解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EF∥CD，且EF=$\frac{1}{2}$CD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，且AB=CD，
∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），
∵点G为AB的中点，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$CD=FE，
在△EFG和△GBE中，$\left\{\begin{array}{l}{BG=FE}&{\;}\\{∠FEG=∠BGE}&{\;}\\{GE=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，
∴∠EGF=∠GEB，
∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），
∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，
∴BO=$\frac{1}{2}$BD=BC，
∵E为OC中点，
∴BE⊥OC，
∴GP⊥AC，
∴∠APG=∠EPG=90°
∵GP∥BE，G为AB中点，
∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=$\frac{1}{2}$BE，
在△APG和△EGP中，$\left\{\begin{array}{l}{AP=EP}&{\;}\\{∠APG=∠EPG}&{\;}\\{GP=GP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APG≌△EPG（SAS），
∴AG=EG=$\frac{1}{2}$AB，
∴EG=EF，即①成立，
∵EF∥BG，GF∥BE，
∴四边形BGFE为平行四边形，
∴GF=BE，
∵GP=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$GF，
∴GP=FP，
∵GF⊥AC，
∴∠GPE=∠FPE=90°
在△GPE和△FPE中，$\left\{\begin{array}{l}{GP=FP}&{\;}\\{∠GPE=∠FPE}&{\;}\\{EP=EP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GPE≌△FPE（SAS），
∴∠GEP=∠FEP，
∴EA平分∠GEF，即④成立．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．