题目内容
15．等腰三角形是生活中常见的几何图形，我们称有两边相等的三角形是等腰三角形，类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件AB=BC，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”；
（2）如图2，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，AC=BD，且对角线AC、BD互相平分，请你证明“等邻边四边形”ABCD是正方形；
（3）如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=$\sqrt{5}$AB，试探究BC、CD、BD之间的数量关系，并证明你的结论．
分析 （1）利用“等邻边四边形”的定义添加条件即可．
（2）用矩形和菱形的判定，先判断出四边形既是矩形，又是菱形，从而得到它是正方形；
（3）先判断出△ACF∽△ABD，得到CF=$\sqrt{5}$BD，再求出∠CBF=90°，最后用勾股定理即可求解．
解答 （1）解：添加条件：AB=BC，理由如下：
∵四边形ABCD是凸四边形，且AB=BC，
∴四边形ABCD是“等邻边四边形”；
故答案为：AB=BC．
（2）证明：∵对角线AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵AC=BD，
∴□ABCD是矩形
又∵AB=AD，
∴矩形ABCD是正方形；
（3）解：BC2+CD2=5BD2，理由如下：
∵AB=AD，
∴将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连接CF，如图所示：
则有△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
在△ACF和△ADB中，
∵∠BAD=∠CAF，$\frac{AC}{AD}=\frac{AF}{AB}$，
∴△ACF∽△ADB，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{AC}{AB}$，
∵AC=$\sqrt{5}$AB，
∴CF=$\sqrt{5}$BD，
∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=270°
即∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2=CF2=（$\sqrt{5}$BD）2=5BD2，
∴BC2+CD2=5BD2，
点评 此题是四边形综合题，主要考查了新定义的理解，矩形，菱形，正方形的性质和判定，勾股定理，三角形全等和相似的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线分别判断出三角形相似和全等．
练习册系列答案
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