Question

7．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∠ADC=90°，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E．若AD=2，则四边形BCDE的周长为（　　）

• A． 6+$\sqrt{3}$
• B． 6+2$\sqrt{3}$
• C． 7+$\sqrt{3}$
• D． 7+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据正弦的概念求出DE，根据余弦的概念求出AE，根据角平分线的性质得到DC=DE=$\sqrt{3}$，根据平行线的性质得到AB=AD，利用周长公式计算即可．

解答 解：∵∠BAD=120°，
∴∠EAD=60°，
∴DE=AD•sin∠EAD=$\sqrt{3}$，AE=1，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，∠ADC=90°，
∴DC=DE=$\sqrt{3}$，
∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠DBC=30°，
∴BC=$\frac{DC}{tan∠DBC}$=3，
∵∠ABC=60°，∠BAD=120°，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD=2，
∴BE=3，
∴四边形BCDE的周长为3+3+$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=6+2$\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查的是角平分线的性质、锐角三角函数的概念，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．