Question

10分）如图，已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，若∠B=∠CAE，FE∶FD=4∶3.

（1）求证：AF=DF；

（2）求∠AED的余弦值；

Answer 1

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）证∠DAE=∠ADE,EA=ED,利用“三线合一”性质证AF=DF

（2）cos∠AED=，（提示：过点A作AN⊥BE于N,利用面积法得，设FE=4x，FD=3x，可得AN=。由勾股定理的EN= ∴cos∠AED=可求）

试题解析：（1）∵AD为∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠DAC

∵∠ADE=∠B+∠BAD, ∠B=∠CAE ∴∠ADE=∠DAC+∠CAE=∠DAE ∴EA=ED

∴△ADE是等腰三角形 ∵DE是圆的直径

∴∠DFE是直角 由等腰三角形的“三线合一”的AF=DF

过点A作AN⊥BE于N,垂足为D 由FE∶FD=4∶3可设FE=4x，FD=3x，∴DE=5 x

由（2）可知F是AD的中点，∴AD=6x

即6x4x=5 xAN 解得AN=

∴由勾股定理的EN==

∴cos∠AED==

考点：等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理.