Question

4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若点P为对角线AC上的一点，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质和平行四边形的判定证明即可；
（2）根据角平分线的性质和菱形的判定证明即可．

解答 证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△ADC与△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{∠DCA=∠BAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABC（AAS），
∴AB=DC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠DAB=∠DCB，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．

点评 本题考查了菱形的判定与性质．菱形的判定方法有五多种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．