题目内容
已知抛物线抛物线
（n为正整数，且0<a1<a2<…<an）与x轴的交点为An-1（bn-1,0）和An(bn，0)，当n=1时，第1条抛物线
与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．
（1）求a1,b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为（ ， ）；
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为（ ， ）;
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系是 ；
（3）探究下列结论：
①若用An-1An表示第n条抛物线被x轴截得得线段长，直接写出A0A1的值，并求出An-1An；
②是否存在经过点A（2，0）的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得得线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵
与x轴交于点A0（0，0），∴―a12+ a1=0，∴a1=0或1。
由已知可知a1>0，∴a1=1。
∴
。
令y1=0代入得：
=0，∴x1=0，x2=2。
∴y1与x轴交于A0（0，0），A1（2，0）。∴b1=2。
又∵抛物线
与x轴交于点A1（2，0），
∴―(2―a2)2+ a2=0，∴a2=1或4，∵a2> a1，∴a2=1（舍去）。
∴取a2=4，抛物线
。
（2）（9，9）； （n2，n2）；y=x。
（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），∴A0 A1=2。
又∵
，
令yn=0，得
，解得：x1=n2+n，x2=n2－n。
∴A n－1(n2－n，0)，A n(n2+n，0)，即A n－1 A n=( n2+n)－( n2－n)=2 n。
②存在。是平行于直线y=x且过A1（2，0）的直线，其表达式为y=x－2。
【解析】
试题分析：（1）将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把（b1，0）代入y2，可求出a2 ，即得y2的解析式。
（2）用同样的方法可求得a3 、a4
、a5 ……由此得到规律
：
∵抛物线令y2=0代入得：
，∴x1=2，x2=6。
∴y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）。
又∵抛物线
与x轴交于A2（6，0），∴―(6―a3)2+a3=0。∴a3=4或9。
∵a3> a3，∴a3=4（舍去），即a3=9。∴抛物线y3的顶点坐标为（9，9）。
由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）。
∵所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y= x。
（3）①由（2）可知A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，得A n－1 A n=2 n。
②猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，即y=x－2。
可用特殊值法验证：取
得
和
，得所截得的线段长度为
，换一组抛物线试试，求出的值也为。
口算题卡加应用题集训系列答案
已知抛物线y=-x2+mx-n的对称轴为x=-2，且与x轴只有一个交点．
已知抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，3），顶点P（2，-1），直线x=m（m＞3）交x轴于点D，抛物线交x轴于A、B两点（如图10）．