题目内容

（2011•自贡）已知抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）有如下两个特点：①无论实数a怎样变化，其顶点都在某一条直线l上；②若把顶点的横坐标减少
1
a
，纵坐标增大
1
a
分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加
1
a
，纵坐标增加
1
a
分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）上．
（1）求出当实数a变化时，抛物线y=ax2+2x+3（a≠0）的顶点所在直线l的解析式；
（2）请找出在直线l上但不是该抛物线顶点的所有点，并说明理由；
（3）你能根据特点②的启示，对一般二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）提出一个猜想吗？请用数学语言把你的猜想表达出来，并给予证明．
分析：（1）取a=1和-1，求出两点的坐标，用待定系数法求出直线l的解析式即可；
（2）求出抛物线y=ax2+2x+3的顶点P坐标为(-
1
a
，3-
1
a
)，根据其取值，即可得出不是该抛物线的顶点的坐标；
（3）猜想：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标减少
1
a
，纵坐标增加
1
a
分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加
1
a
，纵坐标增加
1
a
分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上；求出其横、纵坐标，把横坐标代入函数式，验证即可；
解答：解：（1）取a=1，得抛物线y=x2+2x+3，
其顶点为P1（-1，2）．
取a=-1，得抛物线y=-x2+2x+3，
其顶点为P2（1，4）．
由题意有P1、P2在直线l上，设直线l的解析式为y=kx+b，则
-k+b=2
k+b=4

解得：
k=1
b=3

∴直线l的解析式为y=x+3．

（2）∵抛物线y=ax2+2x+3的顶点P坐标为(-
1
a
，3-
1
a
)．
显然P(-
1
a
，3-
1
a
)在直线y=x+3上．
又-
1
a
能取到除0以外的所有实数，
∴在y=x+3上仅有一点（0，3）不是该抛物线的顶点．

（3）猜想：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），将其顶点的横坐标减少
1
a
，纵坐标增加
1
a
分别作为点A的横、纵坐标；把顶点的横坐标增加
1
a
，纵坐标增加
1
a
分别作为点B的横、纵坐标，则A，B两点也在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上．证明如下：
∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
），
∴点A的坐标为(-
b+2
2a
，
4ac-b2+4
4a
)，
点B的坐标为(
-b+2
2a
，
4ac-b2+4
4a
)．
∵x=-
b+2
2a
时，y=ax2+bx+c=a(
-b+2
2a
)2+b(
-b+2
2a
)+c=
4ac-b2+4
4a

∴点A(-
b+2
2a
，
4ac-b2+4
4a
)在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），
同理有B(
-b+2
2a
，
4ac-b2+4
4a
)也在抛物线上，故结论成立．
点评：本题主要考查了二次函数的解析式及用待定系数法求函数的解析式，熟记二次函数的顶点坐标公式及其性质，是正确解答的关键．
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