Question

已知抛物线l：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线l的伴随抛物线，直线PM为l的伴随直线．
（1）请直接写出抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：伴随抛物线的解析式

y=-2x²+1

，伴随直线的解析式

y=-2x+1

；
（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x²-3和y=-x-3，则这条抛物线的解析式是

y=x²-2x-3

；
（3）求抛物线l：y=ax²+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）求出抛物线y=2x²-4x+1的顶点坐标为（1，-1），与y轴的交点坐标为（0，1），设出伴随抛物线的解析式，将（1，-1）代入解析式即可求出m的值；设出伴随直线解析式为y=kx+b，将（1，-1）和（0，1）代入解析式，求出k、b的值即可．
（2）将y=-x²-3和y=-x-3组成方程组，求出方程组的解，即为原抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标．
（3）先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标．然后根据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．根据M，P两点的坐标即可求出直线PM的解析式．

解答：解：（1）抛物线y=2x²-4x+1的顶点坐标为（1，-1），与y轴的交点坐标为（0，1），
设抛物线y=2x²-4x+1的伴随抛物线的解析式为y=mx²+1，
将（1，-1）代入解析式得，-1=m+1，
解得，m=-2，
则函数解析式为y=-2x²+1．
设伴随直线的解析式为y=kx+b，
将（1，-1）和（0，1）分别代入解析式y=kx+b得，

k+b=-1 b=1

，
解得，

k=-2 b=1

，
则伴随直线解析式为y=-2x+1．

（2）将y=-x²-3和y=-x-3组成方程组得，

y=-x2-3 y=-x-3

，
解得，

x1=0 y1=-3

或

x2=1 y1=-4

．
则原抛物线的顶点坐标为（1，-4），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
设原函数解析式为y=n（x-1）²-4，将（0，-3）代入y=n（x-1）²-4得，-3=n（0-1）²-4，
解得，n=1，
则原函数解析式为y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3．

（3）∵伴随抛物线的顶点是（0，c），
∵设它的解析式为y=m（x-0）²+c（m≠0），
∵此抛物线过P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴=m•（-

b

2a

）²+c，
解得m=-a，
∴伴随抛物线解析式为y=-ax²+c；
设伴随直线解析式为y=kx+c（k≠0），
P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）在此直线上，
∴

4ac-b2

4a

=-

b

2a

k+c，
∴k=

b

2

，
∴伴随直线解析式为y=

b

2

x+c．
故答案为y=-2x²+1，y=-2x+1，y=x²-2x-3．

点评：本题主要考查了二次函数的应用，关键是读懂题目所给出的条件，根据新定义进行解答．涉及待定系数法、二次根式的性质等知识，综合性较强，要认真解答．