Question

如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC，BD相交于点O．

（1）求边AB的长；

（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．

①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；

②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．

Answer 1

解答：

解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△AOB为直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD=． 在Rt△AOB中，由勾股定理得： AB===2．（2）①△AEF是等边三角形．理由如下： ∵由（1）知，菱形边长为2，AC=2， ∴△ABC与△ACD均为等边三角形， ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°， 又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°， ∴∠BAE=∠CAF． 在△ABE与△ACF中， ∵， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF， ∴△AEF是等腰三角形， 又∵∠EAF=60°， ∴△AEF是等边三角形． ②BC=2，E为四等分点，且BE＞CE， ∴CE=，BE=． 由①知△ABE≌△ACF， ∴CF=BE=． ∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理）， ∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角）， ∠EGA=∠CGF（对顶角） ∴∠EAC=∠GFC． 在△CAE与△CFG中， ∵， ∴△CAE∽△CFG， ∴，即， 解得：CG=．