Question

6．如图1，抛物线y=ax²+bx+$\frac{7}{4}$，经过A（1，0）、B（7，0）两点，交y轴于D点，以AB为边在x轴上方作等边△ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点M，是S_△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S_△ABC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，E是线段AC上的动点，F是线段BC上的动点，AF与BE相交于点P．
①若CE=BF，试猜想AF与BE的数量关系及∠APB的度数，并说明理由；
②若AF=BE，当点E由A运动到C时，请直接写出点P经过的路径长（不需要写过程）．

Answer 1

分析 （1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得到关于a、b方程组，解关于a、b的方程组求得a、b的值即可；
（2）过点C作CK⊥x轴，垂足为K．依据等边三角形的性质可求得CK=3$\sqrt{3}$，然后依据三角形的面积公式结合已知条件可求得S_△ABM的面积，设M（a，$\frac{1}{4}$a²-2a+$\frac{7}{4}$），然后依据三角形的面积公式可得到关于a的方程，从而可得到点M的坐标；
（3）①首先证明△BEC≌△AFB，依据全等三角形的性质可知：AF=BE，∠CBE=∠BAF，然后通过等量代换可得到∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°，最后依据三角形的内角和定理可求得∠APB；
②当AE≠BF时，由①可知点P在以AB为直径的圆上，过点M作ME⊥AB，垂足为E．先求得⊙M的半径，然后依据弧长公式可求得点P运动的路径；当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．

解答 解：（1）将点A（1，0），B（7，0）代入抛物线的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{49a+7b+\frac{7}{4}=0}\\{a+b+\frac{7}{4}=0}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{1}{4}$，b=-2．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-2x+$\frac{7}{4}$．

（2）存在点M，使得S_△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$S_△ABC．
理由：如图所示：过点C作CK⊥x轴，垂足为K．

∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60°．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=30°．
∴CK=3$\sqrt{3}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CK=$\frac{1}{2}$×6×3=9$\sqrt{3}$．
∴S_△ABM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$×9$\sqrt{3}$=12．
设M（a，$\frac{1}{4}$a²-2a+$\frac{7}{4}$）．
∴$\frac{1}{2}$AB•|y|=12，即$\frac{1}{2}$×6×（$\frac{1}{4}$a²-2a+$\frac{7}{4}$）=12，
解得：a₁=9，a₂=-1．
∴点M的坐标为（9，4）或（-1，4）．

（3）①结论：AF=BE，∠APB=120°．
∵△ABC为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
∵在△BEC和△AFB中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AB}\\{∠C=∠ABF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60°．
∴∠APB=180°-60°=120°．
②当AE≠BF时，由①可知点P在以M为圆心，在以AB为弦的圆上，过点M作MK⊥AB，垂足为k．

∵∠APB=120°，
∴∠N=60°．
∴∠AMB=120°．
又∵MK⊥AB，垂足为K，
∴AK=BK=3，∠AMK=60°．
∴AK=2$\sqrt{3}$．
∴点P运动的路径=$\frac{120•π×2\sqrt{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．
当AE=BF时，点P在AB的垂直平分线上时，如图所示：过点C作CK⊥AB，则点P运动的路径=CK的长．

∵AC=6，∠CAK=60°，
∴KC=3$\sqrt{3}$．
∴点P运动的路径为3$\sqrt{3}$．
综上所述，点P运动的路径为3$\sqrt{3}$或$\frac{4\sqrt{3}π}{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等边三角形的性质、全等三角形的性质和判定、扇形的弧长公式，判断出点P运动的轨迹生成的图形的形状是解题的关键．