Question

已知如图，D是⊙O的直径AB延长线上一点，DC切⊙O于C，过D作ED⊥AD与AC的延长线相交于E．
（1）求证：CD=DE；
（2）若tan∠BAC=

1

3

，求

CE

AC

的值；
（3）设AB=2R，当BC=CE时，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）欲求CD=DE，需先求出∠DCE=∠E；由弦切角定理知∠DCB=∠A；可发现：∠DCE和∠E是上面证得的两个等角的余角，故∠DCE=∠E，由此得证．
（2）设出BC=x，ED=y；根据tan∠BAC=

1

3

，得出AD=3x，AC=3y，根据勾股定理和切割线定理即可求出x和y之间的关系．
（3）连接OC，由（1）得出的∠BCD=∠A，易知：∠OBC=∠CDE，因此等腰△OBC和等腰△DCE相似；由于题中告诉了BC=CE，可得到的条件是△OBC≌△DCE；因此OC=CD=R；在等腰Rt△OCD中，已知了直角边的长，即可求出斜边OD的长，进而可求出BD的长．

解答：（1）证明：∵△ADE是直角三角形，
∴∠E=90°-∠A；
又∵∠BCD=∠A，∠BCE=90°，
∴∠DCE=90°-∠A，
∴∠E=∠DCE，即CD=DE．

（2）解：设BC=y，ED=x；根据tan∠BAC=

1

3

，得出AD=3x，AC=3y；
Rt△ABC中，根据勾股定理，得：AB=

(3y)2+y2

=

10

y；
又因为CD=DE，所以根据切割线定理，x²=BD•3x，BD=

x

3

，AB=3x-

x

3

=

8

3

x；
所以

10

y=

8

3

x，

x

y

=

3 10

8

．
又因为

CE

AC

=

10 x-3y

3y

=

10

3

x

y

-1=

10

3

×

3 10

8

-1=

1

4

．

（3）解：连接OC；
由（1）知：∠BCD=∠A，∠ACB=∠BCE=90°；
∴∠OBC=∠DCE；
∵OB=OC，CD=DE；
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠E；
在△OBC和△DCE中

∠OBC=∠DCE BC=CE ∠OCB=∠E

∴△OBC≌△DCE（ASA）；
∴OC=CD=R；
Rt△OCD中，OC=CD=R，∠OCD=90°；
∴OD=

2

R，即BD=OD-OB=（

2

-1）R．

点评：此题巧妙利用了勾股定理、切割线弦定及三角函数值，将各个量结合起来，找到它们之间的关系，尤其是（2），借助参数求代数式的比，应用了设而不求的方法．