Question

如图，抛物线             ()位于轴上方的图象记为₁ ，它与轴交于₁ 、两点，图象₂与₁关于原点对称， ₂与轴的另一个交点为₂ ，将₁与₂同时沿轴向右平移₁₂的长度即可得₃与₄ ；再将₃与₄ 同时沿轴向右平移₁₂的长度即可得₅与₆ ； ……按这样的方式一直平移下去即可得到一系列图象₁ ,₂  ,…… ，_n ,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.

⑴ 当时，

        ① 求图象₁的顶点坐标；

        ② 点(2014 , －3)       (填“在”或“不在”)该“波浪抛物线”上；若图象_n 的顶点_n的横坐标为201，则图象_n 对应的解析式为______ ，其自变量的取值范围为_______.

     ⑵ 设图象_m、_m+1的顶点分别为_m 、_m+1  (m为正整数),轴上一点Q的坐标为(12 ,0).试探究：当为何值时，以、_m 、_m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.

Answer 1

解析：(1)当时，

         ①，∴F₁的顶点是（-1,1)；

         ②由①知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1，

           ∴点H(2014,-3)不在“波浪抛物线”上；

           由平移知：F₂：   F₃：，…，

           ∵F_n的顶点横坐标是201，∴F_n的解析式是：，

           此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0),

           ∴200≤≤202 .

       (2)如下图，取OQ的中点O′,连接T_m T_m+1 ,

                  ∵四边形OT_mQT_m+1是矩形，

                  ∴T_m T_m+1=OQ=12, 且 T_m T_m+1 经过O′, ∴OT_m+1=6,

                  ∵F₁：

                  ∴T_m+1的纵坐标为，

                  ∴()²+1² =6² ,   ∴=± ,

                  已知＜0 ， ∴ .

          ∴当时，以以O、T_m 、T_m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.

          此时m=4.