Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，AD=9，AC=12，BC=16，点E是边BC上一个动点，∠EAF=∠BAC，AF交CD于点F、交BC延长线于点G，设BE=x．
（1）使用x的代数式表示FC；
（2）设

FG

EF

=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△AEG是等腰三角形时，直线写出BE的长．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：综合题,分类讨论,转化思想

分析：（1）易证△ABC∽△DCA，则有∠B=∠ACD，由∠EAF=∠BAC可得∠BAE=∠CAF，从而得到△ABE∽△ACF，然后根据相似三角形的性质即可解决问题；
（2））由△ABE∽△ACF可得

AB

AC

=

AE

AF

，根据∠EAF=∠BAC可得△AEF∽△ABC，从而得到EF=

4

3

AF．易证△CFG∽△DFA，从而得到

FG

FA

=

CF

DF

，问题得以解决；
（3）易证△ADF∽△GAE，因而当△GAE是等腰三角形时，△ADF也是等腰三角形，然后只需分三种情况（①AF=DF，②AD=DF，③AF=AD，）讨论，就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=90°．
∵AD=9，AC=12，BC=16，
∴AB=20，DC=15．
∵

BC

AC

=

AC

AD

=

4

3

，∠DAC=∠ACB，
∴△ABC∽△DCA，
∴∠B=∠ACD．
∵∠EAF=∠BAC，
∴∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴

AB

AC

=

BE

CF

，
∴

20

12

=

x

CF

，
∴CF=

3

5

x；

（2）∵△ABE∽△ACF，
∴

AB

AC

=

AE

AF

，
又∵∠EAF=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴

EF

AF

=

BC

AC

=

16

12

=

4

3

，
∴EF=

4

3

AF．
∵AD∥CG，
∴△CFG∽△DFA，
∴

FG

FA

=

CF

DF

，
∴y=

FG

EF

=

FG

4 3 AF

=

3

4

•

CF

DF

=

3

4

•

3 5 x

15- 3 5 x

，
整理得：y=

3x

100-4x

（0＜x≤16）；

（3）当△AEG是等腰三角形时，BE的长为

25

2

、10或7．
解题过程如下：
∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC=∠D，
∴∠EAF=∠BAC=∠D．
∵AD∥BC，∴∠G=∠FAD，
∴△ADF∽△GAE，
∴当△GAE是等腰三角形时，△ADF也是等腰三角形．
①当AF=DF时，
则有∠FAD=∠D，
∵∠FAD+∠CAF=90°，∠D+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠ACD，
∴FA=FC，
∴CF=DF=

15

2

，
∴

3

5

x=

15

2

，
∴x=

25

2

；
②当AD=DF=9时，CF=CD-DF=6，
∴

3

5

x=6，
∴x=10；
③当AF=AD=9时，
作AH⊥DF于H，如图2，
则有DH=FH．
∵S_△CAD=

1

2

AC•AD=

1

2

CD•AH，
∴AH=

AC•AD

CD

=

36

5

，
∴FH=DH=

AD2-AH2

=

27

5

，
∴

3

5

x=15-2×

27

5

，
∴x=7．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，在解决问题的过程中用到了面积法、分类讨论的思想，有一定的难度，证到△ABE∽△ACF是解决第（1）小题的关键，证到△AEF∽△ABC，从而得到EF=

4

3

AF是解决第（2）小题的关键，证到△ADF∽△GAE，从而把△GAE是等腰三角形转化为△ADF是等腰三角形是解决第（2）小题的关键．