Question

已知：如图，等边△ABC中，D为AC的中点，DG∥BG交AB于点G，E为BC延长线上的一点，且∠EDF=120°，DF交AB于F点．
（1）求证：△CDE≌△GDF；
（2）求证：AF-CE=

1

2

AB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）根据等边三角形的性质得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，求出DG=DC，∠GDF=∠CDE，根据ASA推出△DCE≌△DGF即可；
（2）根据全等三角形的性质得出CE=GF，即可得出答案．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC=

1

2

AC，
∵DG∥BC，
∴∠AGD=∠B=∠ADG=∠C=60°，
∴△ADG为等边三角形．
∴AG=DG=AD，
∴DG=DC，
∵∠EDF=∠GDC=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
在△DCE和△DGF中

∠DGF=∠DCE DC=DG ∠GDF=∠CDE

∴△DCE≌△DGF；

（2）∵△DCE≌△DGF，
∴CE=GF，
∴AF-CE=AF-GF=AG=

1

2

AB．

点评：本题考查了等边三角形的，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△DCE≌△DGF，注意：等边三角形的三边都相等，等边三角形的每个角都等于60°．