Question

19．直角三角形一边长为12，另两边的长度是方程x²-18x+a=0的两根，求a的值．

Answer 1

分析 分两种情况：①设另一条直角边长为b，斜边长为c，由根与系数的关系得出c+b=18，bc=a，由勾股定理和完全平方公式得出a的方程，解方程即可；
②设一条直角边长为b，另一条直角边长为c，由根与系数的关系得出c+b=18，bc=a，由勾股定理和完全平方公式得出a的方程，解方程即可．

解答 解：分两种情况：
①设另一条直角边长为b，斜边长为c，
由根与系数的关系得：c+b=18，bc=a，
∴（c-b）²=（c+b）²-4bc=18²-4a，
∴$\sqrt{c-b}=\sqrt{1{8}^{2}-4a}$，
由勾股定理得：c²-b²=12²，
∴（c+b）（c-b）=12²，
∴18$\sqrt{1{8}^{2}-4a}$=12²，
解得：a=65；
②设一条直角边长为b，另一条直角边长为c，
由根与系数的关系得：c+b=18，bc=a，
∴b²+c²=（b+c）²-2bc=18²-2a，
由勾股定理得：c²+b²=12²，
∴18²-2a=12²，
解得：a=90；
所以a=65或a=90．

点评 本题考查了根与系数的关系、勾股定理、完全平方公式；熟练掌握根与系数的关系，由勾股定理和完全平方公式得出方程是解决问题的关键．