Question

9．如图，已知在半圆AOB中，AD=DC，∠CAB=30°，AB=8，求AD的长．

Answer 1

分析 连结OD交AC于E，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，由AD=CD得$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，再根据垂径定理得到OD⊥AC，则可计算出∠AOE=60°，则可判断△OAD为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．

解答 解：连结OD交AC于E，如图，
∵AD=CD，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠AOE=60°，
而OA=OD，
∴△OAD为等边三角形，
∴AD=AO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×$8=4．

点评 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等边三角形的判定与性质．