Question

倾听理解：
这是一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们的交流片断：

问题解决：
（1）填空：图②中，小苏发现的

MN

PM

=

 

；
（2）记图①，图②中MN为d₁，d₂，分别求出d₁，d₂与m之间的函数关系式．
拓广探索：
（3）如图③，直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x²-4x和y=x²-3x于点P，M，N，设A，B为抛物线y=x²-4x，y=x²-3x与x轴的另一交点．当m为何值时，线段OP，PM，PN，MN中有三条能围成等边三角形？并直接写出此时点A，B，M，N围成的图形的面积．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把当x=m分别代入反比例函数的解析式，求出M点的纵坐标和N点的纵坐标，进而求出MN的长，则

MN

PM

值可求出；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，进而求出MN的长，d₁可求，同理可求出d₂；
（3）由函数的解析式分别求出PM，PN，MN的长，根据等边三角形的性质：三边相等即可求出m的值，利用梯形的性质即可求出其面积．

解答：解：（1）当x=m时，
则M点的纵坐标为

2

m

，N点的纵坐标为

3

m

，
所以MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
∴

MN

PM

=

1 m

2 m

=

1

2

，
故答案为：

1

2

；

（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，
∴MN=2m-m=m，
即d₁=m，
当x=m时，则M点的纵坐标为

2

m

，N点的纵坐标为

3

m

，
∴MN=

3

m

-

2

m

=

1

m

，
即d₂=

1

m

；

（3）OP=m，PM=|4m-m²|=m|4-m|，PN=|3m-m²|=m|3-m|，MN=m，
由题意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5或m=3或m=4或m=2，
当m=3时，点P与点A重合，当m=4时，点P与点B重合，
所以，m=2或5，
当m=2时，S=3；当m=5时，S=7.5．

点评：本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的各种性质以及等边三角形的性质和梯形的面积公式的，题目的综合性较强，对学生的解题能力要求很高．