Question

如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M=∠D．
（1）判断BC、MD的位置关系，并说明理由；
（2）若AE=16，BE=4，求线段CD的长；
（3）若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理可得出∠M=∠D=∠C=∠CBM，由此即可得出结论；
（2）先根据AE=16，BE=4得出OB的长，进而得出OE的长，连接OC，根据勾股定理得出CE的长，进而得出结论；
（3）根据题意画出图形，根据圆周角定理可知，∠M=

1

2

∠BOD，由∠M=∠D可知∠D=

1

2

∠BOD，故可得出∠D的度数．

解答：解：（1）BC∥MD．
理由：∵∠M=∠D，∠M=∠C，∠D=∠CBM，
∴∠M=∠D=∠C=∠CBM，
∴BC∥MD；

（2）∵AE=16，BE=4，
∴OB=

16+4

2

=10，
∴OE=10-4=6，
连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CE=

1

2

CD，
在Rt△OCE中，
∵OE²+CE²=OC²，即6²+CE²=10²，解得CE=8，
∴CD=2CE=16；

（3）如图2，
∵∠M=

1

2

∠BOD，∠M=∠D，
∴∠D=

1

2

∠BOD，
∵AB⊥CD，
∴∠D=

1

3

×90°=30°．

点评：本题考查的是垂径定理，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．