Question

【题目】已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．

（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；

（2）求证：CP=BM+2FN．

Answer 1

【答案】（1）8 ；（2）证明见解析.

【解析】

试题

（1）由已知条件先证：∠ACP=∠APC=67.5°，可得AP=AC=，再由S△ACP=APCD计算即可；

（2）由已知条件先证：△PDC≌△FBC，可得：CP=CF；在CN上截取NH=FN，连接BH，证△AMB≌△BHC可得：BM=HC，由此可得CF=CH+HF=BM+2FN，从而可得结论.

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，CF平分∠ACB，

∴∠1=∠2=22.5°，

又∵CP⊥CF，

∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°

∴∠3=∠1=22.5°

∴∠P=67.5°

又四边形ABCD为正方形，

∴∠ACP=45°+22.5°=67.5°

∴∠P=∠ACP

∴AP=AC

又AC=AB=4，

∴AP=4，

∴S△APC=APCD=；

（2）∵在△PDC和△FBC中： ，

∴△PDC≌△FBC，

∴CP=CF.

在CN上截取NH=FN，连接BH

∵FN=NH，且BN⊥FH，

∴BH=BF，

∴∠4=∠5，

∴∠4=∠1=∠5=22.5°，

又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°，

∴∠HBC=∠BAM=45°，

在△AMB和△BHC中：，

∴△AMB≌△BHC，

∴CH=BM，

∴CF=BM+FH=BM+2FN，

∴CP=BM+2FN．