Question

【题目】如图①、②、③、○n、…、M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.

（1）求图①中∠MON的度数；

（2）图②中∠MON的度数是_________，图③中∠MON的度数是___________；

（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）.

Answer 1

【答案】（1）120°（2）90°,72°（3）∠MON=.

【解析】试题分析:连接BO,CO那么,有:BM=CM, ∠OBM=∠OCN,BO=CO,利用SAS证明△OBM≌△OCN,同理可得,图1中的∠MON=∠BOC=120°,图2中心角等于360°÷4=90°,图3的中心角等于360°÷5=72°,所以,（1）120°,（2）90° 72°,（3）正n边形时, ∠MON=∠BOC=360°÷n, ∠MON是一定值,取特殊位置进行分析,对三个图取B与M重合,N与C重合,即可求出∠MON的值.

试题解析:（1）解法一:连接OB,OC,

∵正△ABC内接于⊙O,

∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.

又∵BM=CN,OB=OC,

∴△OBM≌△OCN,

∴∠BOM=∠OCN,

∴∠MON=∠BOC=120°.

解法二:连接OA,OB,

∵正△ABC内接于⊙O,

∴AB=AC,∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°,

又∵BM=CN,

∴AM=BN,

又∵OA=OB,

∴△AOM≌△BON,

∴∠AOM=∠BON,

∴∠AON=∠AOB=120°.

（2）90°, 72°.

（3）∠MON=.