Question

11．已知二次函数y=$\frac{1}{2}$x²-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求A、B、C点的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求其面积．

Answer 1

分析 （1）令y=0，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出点A、B的坐标，令x=0求出y值，由此即可得出点C的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可得出AC、BC、AB的长度，结合AB²=AC²+BC²且AC=BC即可得出△ABC为等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式求出△ABC的面积即可得出结论．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{1}{2}$x²-2=0，
解得：x₁=-2，x₂=2，
∴A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0）；
令x=0，y=-2，
∴C点的坐标为（0，-2）．
（2）∵A（-2，0）、B（2，0）或A（2，0）、B（-2，0），且C（0，-2），
∴AC=2$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，AB=4，
∴AB²=AC²+BC²．
∵AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形．
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=4．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定以及三角形的面积，根据二次函数图象上点的坐标特征求出点A、B、C的坐标是解题的关键．