Question

4．如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点C，求此反比例函数的表达式．

Answer 1

分析 过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出△ACF≌△BCE（AAS），从而得出S_矩形OECF=S_{四边形OBCA}=S_△AOB+S_△ABC，根据直线AB的表达式利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点A、B的坐标，结合勾股定理可得出AB的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数k的几何意义，即可求出k值，此题得解．

解答 解：过点C作CE⊥x轴于点E，作CF⊥y轴于点F，如图所示．
∵CE⊥x轴，CF⊥y轴，
∴∠ECF=90°．
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACF+∠FCB=∠FCB+∠BCE=90°，AC=BC，
∴∠ACF=∠BCE．
在△ACF和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠BEC=90°}\\{∠ACF=∠BCE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE（AAS），
∴S_△ACF=S_△BCE，
∴S_矩形OECF=S_{四边形OBCA}=S_△AOB+S_△ABC．
∵将直线y=-3x向上平移3个单位可得出直线AB，
∴直线AB的表达式为y=-3x+3，
∴点A（0，3），点B（1，0），
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC=$\sqrt{5}$，
∴S_矩形OECF=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$×1×3+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=4．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点C，
∴k=4，
∴此反比例函数的表达式为y=$\frac{4}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、全等三角形的判定与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、等腰直角三角形以及三角形的面积，根据等腰直角三角形的性质结合角的计算，证出△ACF≌△BCE（AAS）是解题的关键．