Question

15．如图，△ABC，是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=80cm，AD=60cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G、H分别在AC，AB上，AD与HG的交点为M．
（1）试说明：$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$的理由；
（2）求这个矩形EFGH的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形性质得出∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，即可证出；
（2）根据（1）中比例式即可求出HE的长度，以及矩形的面积．

解答 （1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AD}$=$\frac{HG}{BC}$；

（2）解：设HE=xcm，MD=HE=xcm，
∵AD=60cm，
∴AM=（60-x）cm，
∵HG=2HE，
∴HG=2xcm，
由（1）得$\frac{AM}{AD}=\frac{HG}{BC}$，
可得 $\frac{60-x}{60}$=$\frac{2x}{80}$，
解得，x=24，
故HE=24，HG=2x=48，
则矩形EFGH的面积=24×12=1152cm²．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．