Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm．动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿射线BA运动，求出点P运动所有的时间t，使得△PBC为等腰三角形．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定,勾股定理

专题：动点型

分析：根据勾股定理求出斜边AB，根据等腰三角形的判定得出符合情况的三种情况：①BP=PC，②BP=BC，③BC=CP，根据等腰三角形的性质得出即可．

解答：解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，
∴AB=5cm，
由运动可知，BP=t，且△PBC为等腰三角形有三种可能：
①若BP=PC，则∠B=∠PCB，
∵∠ACB=90°，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
∴t=BP=

1

2

AB=

5

2

；
②若BP=BC，则t=4；
③若BC=PC，过点C作CH⊥AB，如图，
则BP=2BH．由CH×AB=BC×AC，得CH=

12

5

；
在Rt△BHC中，由勾股定理得BH=

16

5

，
∴t=BP=

32

5

；
综上所述，符合要求的t的值有3个，分别是 

5

2

秒或4秒

32

5

秒．

点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积的应用，能求出符合情况的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．