Question

如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果对角线AC与BD相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S₁、S₂、S₃、S₄，那么下列结论中，不正确的是（　　）

• A、S₁=S₃
• B、S₂=2S₄
• C、S₂=2S₁
• D、S₁•S₃=S₂•S₄

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及三角形的面积公式即可得出结论．

解答：解：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，则S_△ABD=S_△ACD，
∴S₁=S₃，故命题正确；
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
又∵BC=2AD，
∴

S△COB

S△AOD

=（

1

2

）²=

1

4

，
则S₂=2S₄正确．故命题错误；
C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M．
∵△AOD∽△COB，
又∵BC=2AD，
∴

OM

ON

=

AD

BC

=

1

2

，即

ON

MN

=

2

3

，
∴

S△OBC

S△ABC

=

2

3

，
则设S△OBC=2x，则S△ABC=3x，则S△AOB=x，
即S₂=2S₁，故命题正确；
D、设AD=y，则BC=2y，设OM=z，则ON=2z，
则S₂=

1

2

×2y×2z=2yz，S₄=

1

2

×y×z=

1

2

yz，
S_△ABC=

1

2

BC•MN=

1

2

×2y•3z=3yz，
则S₁=S₃=3yz-2yz=yz，
则S₁•S₃=y2z2，
S₂•S₄=y2z2，
故S₁•S₃=S₂•S₄正确．
故选B．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的平方，高线的比等于相似比，正确表示出S₁、S₂、S₃、S₄，是解决本题的关键．