Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（-1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求直线CM的解析式；
（3）求△MCB的面积．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式

专题：代数几何综合题,待定系数法

分析：（1）A（-1，0），C（0，5），D（1，8）代入y=ax²+bx+c得到关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值即可得到二次函数解析式；
（2）先把抛物线解析式配成顶点式，则可确定M点坐标为（2，9），软件利用待定系数法确定直线CM的解析式；
（3）先确定直线CM与x轴的交点D的坐标和抛物线与x轴的交点B的坐标，然后利用S_△MCB=S_△MBE-S_△CBE进行计算．

解答：解：（1）根据题意得

a-b+c=0 c=5 a+b+c=8

，
解得

a=-1 b=4 c=5

，
所以二次函数解析式为y=-x²+4x+5；

（2）y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
则M点坐标为（2，9），
设直线MC的解析式为y=mx+n，
把M（2，9）和C（0，5）代入得

2m+n=9 n=5

，
解得

m=2 n=5

，
所以直线CM的解析式为y=2x+5；

（3）把y=0代入y=2x+5得2x+5=0，
解得x=-

5

2

，
则E点坐标为（-

5

2

，0），
把y=0代入y=-x²+4x+5得-x²+4x+5=0，
解得x₁=-1，x₂=5，
所以S_△MCB=S_△MBE-S_△CBE=

1

2

×

15

2

×9-

1

2

×

15

2

×5=15．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．