Question

11．如图，△ABC是等边三角形，AO⊥BC，垂足为点O，⊙O与AC相切于点D，BE⊥AB交AC的延长线于点E，与⊙O相交于G、F两点．
（1）求证：AB与⊙O相切；
（2）若等边三角形ABC的边长是4，求线段BF的长？

Answer 1

分析 （1）过点O作OM⊥AB，垂足是M，证明OM等于圆的半径OD即可；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF，则四边形OMBN是矩形，在直角△OBM利用三角函数求得OM和BM的长，则BN和ON即可求得，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF，则BF即可求解．

解答 解：（1）过点O作OM⊥AB，垂足是M．
∵⊙O与AC相切于点D．
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=∠AMO=90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠DAO=∠MAO，
∴OM=OD．
∴AB与⊙O相切；
（2）过点O作ON⊥BE，垂足是N，连接OF．
∵AB=AC，AO⊥BC，
∴O是BC的中点，
∴OB=2．
在直角△OBM中，∠MBO=60°，
∴OM=OB•sin60°=$\sqrt{3}$，BM=OB•cos60°=1．
∵BE⊥AB，
∴四边形OMBN是矩形．
∴ON=BM=1，BN=OM=$\sqrt{3}$．
∵OF=OM=$\sqrt{3}$，
由勾股定理得NF=$\sqrt{2}$．
∴BF=BN+NF=$\sqrt{3}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质与判定，以及等边三角形的性质，正确作出辅助线构造矩形是解决本题的关键．