Question

11．同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是1：2．

Answer 1

分析 作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．

解答 解：如图所示：
∵圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的$\frac{2}{3}$，设内接正三角形的边长为a，
∴等边三角形的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴该等边三角形的外接圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
∴同圆外切正三角形的边长=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$a×tan30°=2a．
∴周长之比为：3a：6a=1：2，
故答案为：1：2．

点评 本题考查了正多边形和圆的知识，解题时利用了圆内接等边三角形与圆外接等边三角形的性质求解，关键是构造正确的直角三角形．