Question

9．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，
（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）易求CF=CE，即可证明Rt△ACF≌Rt△ACE，可得AF=AE，根据DF=BE，即可求得AE的长，可求得BE的长，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据勾股定理即可求得AC的长，即可解题．

解答 （1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）；
（2）解：∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CE⊥AE，
∴CF=CE，
在Rt△ACF和Rt△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF=AE，
∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=BE，
∴AF+AE=AE+BE+AF-DF=AB+AD=30，
∴AE=15，
∴BE=6，
∵CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=8，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=17．
答：AC的长为17．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证Rt△BCE≌Rt△DCF和Rt△ACF≌Rt△ACE是解题的关键．