Question

5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，一动点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度运动，另一动点Q同时从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．问：
（1）运动几秒时，△CPQ的面积是8cm²？
（2）运动几秒时，△CPQ与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此时△PCQ的面积为：$\frac{1}{2}$×2x（6-x），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；
（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似，分两种情况讨论：若△CPQ∽△CAB和△CPQ∽△CBA，根据相似三角形的性质即可得出答案．

解答 解：（1）设x秒后，可使△CPQ的面积为8cm²．
由题意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，
则$\frac{1}{2}$（6-x）•2x=8，
整理，得x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4．
则P、Q同时出发，2秒或4秒后可使△CPQ的面积为8cm²

（2）设运动y秒时，△CPQ与△ABC相似．
若△CPQ∽△CAB，
则$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CQ}{CB}$，
即$\frac{6-y}{6}$=$\frac{2y}{8}$，
解得y=2.4秒；
若△CPQ∽△CBA，则$\frac{CP}{CB}$=$\frac{CQ}{CA}$，
即$\frac{6-y}{8}$=$\frac{2y}{6}$，
解得y=$\frac{18}{11}$秒．
综上所述，运动2.4秒或$\frac{18}{11}$秒时，△CPQ与△ABC相似．

点评 本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式的求法和一元二次方程的解的情况，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．