Question

对于实数定义一种运算?为：a?b=a²+ab-2，有下列命题：
①1?3=2；
②方程x?1=0的根为：x₁=-2，x₂=1；
③不等式组

(-2)?(x-4)≤0 1?x-3≤0

的解集为-1≤x≤4；
④在函数y=x?k的图象与坐标轴交点组成的三角形面积为3，则此函数的顶点坐标是(-

1

2

，-

9

4

)
其中正确的是（　　）

• A、①②③④
• B、①②③
• C、①②
• D、①②④

Answer 1

考点：命题与定理

专题：新定义

分析：根据新定义计算得1?3=1+1×3-2=2，可对①进行判断；
根据新定义先得到方程x²+x-2=0，再利用因式分解法解得x₁=-2，x₂=1，则可对②进行判断；
先根据新定义得到不等式组

4-2(x-4)-2≤0 1+x-2-3≤0

，然后解不等式组，则可对③进行判断；
先根据新定义得到y=x²+kx-2，再利用三角形面积公式求出k，然后求抛物线的顶点坐标，再对④进行判断．

解答：解：1?3=1+1×3-2=2，所以①正确；
由x?1=0得x²+x-2=0，解得x₁=-2，x₂=1，所以②正确；

(-2)?(x-4)≤0 1?x-3≤0

化为

4-2(x-4)-2≤0 1+x-2-3≤0

，此不等组无解，所以③错误；
在函数y=x?k=x²+kx-2的图象与y轴交点坐标为（0，-2），与x轴两交点之间的距离=

k2+8

，则

1

2

×2×

k2+8

=3，解得k=±1，所以抛物线为y=x²+x-2或y=x²-x-2，则顶点坐标分别为(-

1

2

，-

9

4

)、（

1

2

，-

9

4

），所以④错误．
故选C．

点评：本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．