Question

【题目】如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC＝6cm，BC＝8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ＝kAP（k＞0），联接PC、PQ．

（1）求⊙O的半径长；

（2）当k＝2时，设AP＝x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB＝∠CPQ，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）y=;（3）

【解析】

（1）首先证明∠ACB＝90°，然后利用勾股定理即可解决问题；

（2）如图2中，作PH⊥BC于H．由PH∥AC，，推出，推出，得出，根据计算即可；

（3）因为△CPQ与△ABC相似，∠CPQ＝∠ACB＝90°，又因为∠CQP＞∠B，

所以只有∠PCB＝∠B，推出PC＝PB，由∠B+∠A＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，

推出∠A＝∠ACP，得出PA＝PC＝PB＝5，由△COQ∽△BCA，推出，

推出，即可解决问题.

（1）∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，∵AC＝6，BC＝8，

∴，

∴⊙O的半径为5．

（2）如图2中，作PH⊥BC于H．

∵PH∥AC，

∴，

∴，

∴，

∴．

（3）如图2中，

∵△CPQ与△ABC相似，∠CPQ＝∠ACB＝90°，

又∵∠CQP＞∠B，

∴只有∠PCB＝∠B，

∴PC＝PB，

∵∠B+∠A＝90°，∠ACP+∠PCB＝90°，

∴∠A＝∠ACP，

∴PA＝PC＝PB＝5，

∴△COQ∽△BCA，

∴，

∴，

∴．