Question

【题目】如图，半圆O的直径AB＝10，有一条定长为6的动弦CD在弧AB上滑动（点C、点D分别不与点A、点B重合），点E、F在AB上，EC⊥CD，FD⊥CD．

（1）求证：EO＝OF；

（2）联结OC，如果△ECO中有一个内角等于45°，求线段EF的长；

（3）当动弦CD在弧AB上滑动时，设变量CE＝x，四边形CDFE面积为S，周长为l，问：S与l是否分别随着x的变化而变化？试用所学的函数知识直接写出它们的函数解析式及函数定义域，以说明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）线段EF的长等于或；（3）．

【解析】

（1）过点O作OH⊥CD于H，由垂径定理得出CH＝DH，证得EC∥OH∥FD，即可得出结论；

（2）由勾股定理求出，由平行线的性质得出∠ECO＝∠COH≠45°；分两种情况讨论：

①当∠EOC＝45°时，过点E作EM⊥OC于M，则△OEM是等腰直角三角形，得出EM＝OM，证明△ECM∽△COH，得出EM：CM＝CH：OH＝3：4．设EM＝3m，CM＝4m．则OM＝3m，EO＝OM＝m，由CM+OM＝OC，得出方程4m+3m＝5，解方程得出，即可得出，EF＝．

②当∠CEO＝45°时，过点O作ON⊥EC于N；．在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．在Rt△EON中，．得出即可．

（3）证明OH是梯形EFDC的中位线，由梯形中位线定理得出EC+FD＝2OH＝8，由梯形面积公式得出S＝（EC+FD）CD＝OHCD＝244×6＝24（0＜x＜8）；作FG⊥EC于G，则GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，求出EG＝EC﹣GC＝2x﹣8，由勾股定理得 ，得出四边形CDFE周长l＝EF+EC+CD+FD＝．

（1）证明：过点O作OH⊥CD于H，如图所示：

则CH＝DH，

∵EC⊥CD，FD⊥CD，OH⊥CD，

∴EC∥OH∥FD，

∵CH＝DH，

∴EO＝FO；

（2）解：∵OH⊥CD，，

∴，

∴，

∵EC∥OH，

∴∠ECO＝∠COH≠45°；

①当∠EOC＝45°时，过点E作EM⊥OC于M，

则△OEM是等腰直角三角形，

∴EM＝OM，

∵∠ECM＝∠COH，∠CME＝∠OHC＝90°，

∴△ECM∽△COH，

∴EM：CM＝CH：OH＝3：4．

在Rt△ECM中，设EM＝3m，CM＝4m．则OM＝3m， ，

∵CM+OM＝OC，

∴4m+3m＝5，

解得： ，

∴，

．

②当∠CEO＝45°时，过点O作ON⊥EC于N；．

在Rt△CON中，ON＝CH＝3，CN＝OH＝4．

在Rt△EON中，．

∴．

综上所述，线段EF的长等于或．

（3）解：四边形CDFE的面积S不随变量x的变化而变化，是一个不变量；

四边形CDFE的周长l随变量x的变化而变化．理由如下：

由①得：EO＝FO，CH＝DH，

∴OH是梯形EFDC的中位线，

∴EC+FD＝2OH＝8，

∴四边形CDFE面积为（是一个常值函数）；

作FG⊥EC于G，则GC＝FD＝8﹣x，GF＝CD＝6，

∴EG＝EC﹣GC＝x﹣（8﹣x）＝2x﹣8，

∴，

∴四边形CDFE周长

，

即．