Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若点是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形的面积最大时，求点的坐标，并求出四边形的最大面积；

（3）若为抛物线对称轴上一动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P点坐标为， ；（3） 或或或．

【解析】

（1）根据待定系数法把A、C两点坐标代入可求得二次函数的解析式；
（2）由抛物线解析式可求得B点坐标，由B、C坐标可求得直线BC解析式，可设出P点坐标，用P点坐标表示出四边形ABPC的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P点坐标；
（3）首先设出Q点的坐标，则可表示出QB2、QC2和BC2，然后分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，求解即可.

解：（1）∵A(-1,0)，在上，

，解得，

∴二次函数的解析式为；

（2）在中，令可得，解得或，

，且，

∴经过、两点的直线为，

设点的坐标为，如图，过点作轴，垂足为，与直线交于点，则，

，

∴当时，四边形的面积最大，此时P点坐标为，

∴四边形的最大面积为；

（3），

∴对称轴为，

∴可设点坐标为，

，，

，，，

为直角三角形，

∴有、和三种情况，

①当时，则有，即，解得或，此时点坐标为或；

②当时，则有，即，解得，此时点坐标为；

③当时，则有，即，解得，此时点坐标为；

综上可知点的坐标为或或或．