Question

3．已知：如图，EF是△ABC的中位线，外角∠ACG的平分线交EF的延长线于点D，求证：AD⊥CD．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义得到∠ACD=∠GCD，根据三角形中位线定理得到EF∥BC，AF=FC，得到DF=FC=FA，根据直角三角形的判定定理证明结论．

解答 证明：∵CD是外角∠ACG的平分线，
∴∠ACD=∠GCD，
∵EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AF=FC，
∴∠EDC=∠GCD，
∴∠ACD=∠EDC，
∴DF=FC，
∴DF=FC=FA，
∴∠ADC=90°，即AD⊥CD．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、角平分线的定义、直角三角形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．