Question

11．如图，等边△ABC的边长为2cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AC向点C运动，到达点C停止；同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度沿AB-BC向点C运动，到达点C停止，设△APQ的面积为y（cm²），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据点Q的位置分两种情况讨论，当点Q在AB上运动时，求得y与x之间函数解析式，当点Q在BC上运动时，求得y与x之间函数解析式，最后根据分段函数的图象进行判断即可．

解答 解：由题得，点Q移动的路程为2x，点P移动的路程为x，
∠A=∠C=60°，AB=BC=2，
①如图，当点Q在AB上运动时，过点Q作QD⊥AC于D，则
AQ=2x，DQ=$\sqrt{3}$x，AP=x，
∴△APQ的面积y=$\frac{1}{2}$×x×$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$（0＜x≤1），
即当0＜x≤1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故（A）、（B）排除；

②如图，当点Q在BC上运动时，过点Q作QE⊥AC于E，则
CQ=4-2x，EQ=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x，AP=x，
∴△APQ的面积y=$\frac{1}{2}$×x×（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$x）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}$+$\sqrt{3}$x（1＜x≤2），
即当1＜x≤2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故（C）排除，而（D）正确；

故选（D）

点评 本题以动点问题为背景，主要考查了二次函数的图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，可以提高分析问题、解决问题的能力．解题时注意分类讨论思想的运用．