Question

17．如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别为B、D，AB=2，CD=4，BD=3．若在直线MN上存在点P，能使△PAB与△PCD相似，则PB=3或2或$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$．

Answer 1

分析 分三种情形①延长CA交MN于P₁，此时△P₁AB∽△P₁CD．②当点P₂在BD上时．③当点P₃在BD的延长线时．分别列出方程即可即可．

解答 解：如图，

①延长CA交MN于P₁，
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD
∴△P₁AB∽△P₁CD，
∴$\frac{{P}_{1}B}{{P}_{1}D}$=$\frac{AB}{CD}$=2，
∴P₁B=BD=3．
②当点P₂在BD上时，设P₂B=x，若△ABP₂∽△CDP₂则有$\frac{AB}{CD}$=$\frac{B{P}_{2}}{D{P}_{2}}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{3-x}$，
∴x=1，
∴P₂B=2，
若△ABP₂∽△P₂DC，则有$\frac{x}{4}$=$\frac{2}{3-x}$，方程无解．
③当点P₃在BD的延长线时，∵△P₃AB∽△CP₃D，
∴$\frac{{P}_{3}B}{CD}$=$\frac{AB}{{P}_{3}D}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{2}{x-3}$，
∴x=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$（舍弃）
∴P₃B=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，
综上所述，满足条件的PB的长为3或2或$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、一元一次方程、一元二次方程等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．