Question

2．两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，按图1所示的位置放置，A与C重合，O与E重合．
（Ⅰ）求图1中，A，B，D三点的坐标；
（Ⅱ）Rt△AOB固定不动，Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，当D点运动到与B点重合时停止，设运动x秒后Rt△AOB和Rt△CED的重叠部分面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（Ⅲ）当Rt△CED以（Ⅱ）中的速度和方向运动，运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置，求点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）Rt△AOB≌Rt△CED且直角边为6，所以有A（0，6），B（6，0），D（-6，0），
（2）Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动，且DE=6，所以在运动过程中有两种情况，即D点仍停留在y轴左侧和D在y轴右侧，需分情况讨论．在第一种情况中，重合部分为两个全等的直角梯形，在第二种情况中，重合部分为一个等腰直角三角形，面积易求出．
（3）当运动时间为4秒时，即为（2）中第二种情况，此时G（4，2）．

解答 解：（1）因为两个直角边为6的全等的等腰Rt△AOB和Rt△CED中，
可得：A（0，6），B（6，0），D（-6，0）．

（2）当0≤x＜3时，位置如图A所示，
作GH⊥DB，垂足为H，可知：OE=2x，EH=x，
DO=6-2x，DH=6-x，
∴y=2S_梯形IOHG=2（S_△GHD-S_△IOD）
=2[$\frac{1}{2}$（6-x）²-$\frac{1}{2}$（6-2x）²]
=2（$\frac{3}{2}$x²+6x）
=-3x²+12x
当3≤x≤6时，位置如图B所示．
可知：DB=12-2x
∴y=S_△DGB=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$DB）²=$\frac{1}{2}$[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-2x）]²=x²-12x+36
∴y与x的函数关系式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{-3{x}^{2}+12x（0≤x＜3）}\\{{x}^{2}-12x+36（3≤x≤6）}\end{array}\right.$；

（3）图B中，作GH⊥OE，垂足为H，
当x=4时，OE=2x=8，DB=12-2x=4，
∴GH=DH=$\frac{1}{2}$DB=2，OH=6-HB=6-$\frac{1}{2}$DB=6-2=4
∴G（4，2）．

点评 此题考查三角形综合题，关键是把运动问题和二次函数紧密联系，考虑问题要全面．