Question

11．如图，直线y₁=ax+b与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，与x轴交于点C，点A的纵坐标为6，点B的坐标为（-3，-2）．
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并结合图象直接写出y₁＜0时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标求出k=6，得出双曲线的解析式为y₂=$\frac{6}{x}$．求出A的坐标为（1，6），由点A和B的坐标以及待定系数法即可求出直线的解析式为直线y₁=2x+4；
（2）求出点C的坐标为（-2，0），即可得出当y₁＜0时x的取值范围．

解答 解：（1）∵点B（-3，-2）在双曲线y₂=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{k}{-3}=-2$，
∴k=6，
∴双曲线的解析式为y₂=$\frac{6}{x}$．
把y=6代入y₂=$\frac{6}{x}$得：x=1，
∴A的坐标为（1，6），
∵直线y₁=ax+b经过A、B两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=6}\\{-3a+b=-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线的解析式为直线y₁=2x+4；

（2）由直线y₁=0得，x=-2，
∴点C的坐标为（-2，0），
当y₁＜0时x的取值范围是x＜-2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式；熟练掌握待定系数法是解决问题的关键．