Question

5．如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．

Answer 1

分析 先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED=EC，则∠EDC=∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF=2∠C，而∠ABC=2∠C，所以∠ABC=∠AEF，加上∠EAF=∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．

解答 证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴点E为AC的中点，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠C，
∴∠AEF=∠EDC+∠C=2∠C，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠ABC=∠AEF，
∵∠EAF=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC．

点评 本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．