Question

15．在一次数学课上，老师出示了一道题目：
如图，CB是⊙O的弦，点A是优弧$\widehat{BAC}$上的一动点，且AD⊥BC于点D，AF是⊙O的直径，请写出三个一定正确的结论．
小明思考后，写出了三个结论：
①∠BAD=∠CAF；②AD=BD；③AB•AC=AD•AF
你认为小明写正确的有（　　）

• A． 0个
• B． 1个
• C． 2个
• D． 3个

Answer 1

分析 连接CF、BF，由圆周角定理得出∠ABF=∠ACF=90°，∠B=∠AFC，再由角的互余关系得出∠BAD=∠CAF，①正确；②不正确；由圆周角定理得出∠AFB=∠C，证明△ABF∽△ADC，得出对应边成比例，得出AB•AC=AD•AF，③正确；即可得出结论．

解答 解：连接CF、BF，如图所示：
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF=∠ACF=90°，
∴∠AFC+∠CAF=90°，
∵∠B=∠AFC，
∴∠BAD=∠CAF，①正确；②不正确；
又∵∠AFB=∠C，
∴△ABF∽△ADC，
∴AB：AD=AF：AC，
∴AB•AC=AD•AF，③正确；
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似是解决问题的关键．