如图.在平面直角坐标系中.直线OA的函数表达式为y=2x.直线AB的函数表达式为y=-3x+b.点B的坐标为$$．点P沿折线OA-AB运动.且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m.△OPB的面积为S．(1)请直接写出b的值．(2)求点A的坐标．(3)求S与m之间函数关系.并直接写出对应的自变量m的取值范围．(4)过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

如图，在平面直角坐标系中，直线OA的函数表达式为y=2x，直线AB的函数表达式为y=-3x+b，点B的坐标为$（\frac{10}{3}，0）$．点P沿折线OA-AB运动，且不与点O和点B重合．设点P的横坐标为m，△OPB的面积为S．
（1）请直接写出b的值．
（2）求点A的坐标．
（3）求S与m之间函数关系，并直接写出对应的自变量m的取值范围．
（4）过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的m的值．

分析（1）由点B的坐标利用待定系数法即可求出b值；
（2）联立OA、AB的解析式成方程组，解方程组即可求出点A的坐标；
（3）分点P在OA和AB上两种情况考虑，找出点P的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
（4）过点P作PD⊥x轴于点D，由OA、AB解析式得特征即可得出只有两种情况：当点P在OA上时，△PBD为等腰直角三角形；当点P在AB上时，△POD为等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．

解答解：（1）将点B（$\frac{10}{3}$，0）代入y=-3x+b中，
得：0=-3×$\frac{10}{3}$+b，
解得：b=10．
（2）∵直线OA与直线AB交于点A，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=2x\\ y=-3x+10\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（2，4）．
（3）当点P在OA上时，此时0＜m≤2，
S=$\frac{1}{2}$•OB•y_P=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×2m=$\frac{10}{3}$m．
当点P在AB上时，此时2＜m＜$\frac{10}{3}$，
S=$\frac{1}{2}$•OB•y_P=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×（-3m+10）=-5m+$\frac{50}{3}$．
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{3}m（0＜m≤2）}\\{-5m+\frac{50}{3}（2＜m＜\frac{10}{3}）}\end{array}\right.$．
（4）过点P作PD⊥x轴于点D，如图所示．
当点P在OA上时，PD=2m（0＜m≤2），BD=$\frac{10}{3}$-m，
∵△PDB为等腰直角三角形，
∴PD=PB，即2m=$\frac{10}{3}$-m，
解得：m=$\frac{10}{9}$；
当点P在AB上时，PD=-3m+10，OD=m，
∵△POD为等腰直角三角形，
∴PD=OD，即-3m+10=m，
解得：m=$\frac{5}{2}$．
综上可知：过点P作OB边的高线把△OPB分成两个三角形，当其中一个是等腰直角三角形时，符合条件的m的值为$\frac{10}{9}$和$\frac{5}{2}$．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、解二元一次方程组、三角形的面积公式以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出b；（2）联立两函数解析式成方程组；（3）分两种情况讨论；（4）根据等腰直角三角形的性质找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据点在折线位置的不同，分情况考虑是关键．

	A．	若 a、b、c是△ABC的三边，则a²+b²=c²
	B．	若 a、b、c是Rt△ABC的三边，则a²+b²=c²
	C．	若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a²+b²=c²
	D．	若 a、b、c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a²+b²=c²

	A．	从袋子中摸出1个球，球的颜色是红色
	B．	从袋子中摸出2个球，它们的颜色相同
	C．	从袋子中摸出3个球，有颜色相同的球
	D．	从袋子中摸出4个球，有颜色相同的球

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