Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．

（1）求证：EF⊥BD．

（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．

（3）求OF的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据正方形的性质求出AC⊥BD，即可得出答案；

（2）根据平行线得出＝，求出AC∥DP，根据平行四边形的判定推出即可；

（3）求出OE和EF的长，再根据勾股定理求出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，

∵EF∥AC，

∴EF⊥BD；

（2）证明：

∵EF∥AC，

∴＝，＝，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD∥CP，OA＝OC，

∴＝，

即＝，

∴AO∥DP，

∵AD∥CP，

∴四边形ACPD为平行四边形；

（3）解：由勾股定理得：AC＝BD＝＝，

∵四边形ACPD为平行四边形，

∴CP＝AD＝BC，

∴＝，

∵AD∥BP，

∴＝＝，

∴DE＝BD＝，OE＝OD﹣DE＝﹣＝，

∵DO＝BD＝，

∵∠DEF＝∠DOC＝90°﹣∠EDF＝45°，

∴∠DFE＝45°，

∴EF＝DE＝，

在Rt△OEF中，由勾股定理得：OF＝＝＝．