题目内容

10.阅读下列一段文字,并根据规律解题:
∵$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$)
$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$)
$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$)
…
∴$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{99×101}$=$\frac{50}{101}$.
试计算
$\frac{1}{x(x+2)}$+$\frac{1}{(x+2)(x+4)}$+$\frac{1}{(x+4)(x+6)}$+$\frac{1}{(x+6)(x+8)}$.

分析 由题意可知$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{99×101}$=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}-\frac{1}{101}$),从而可求得答案;按照上述方法将各分式进行拆项裂项,从而可求得答案.

解答 解:$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{99×101}$=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}-\frac{1}{101}$)
=$\frac{1}{2}×(1-\frac{1}{101})$
=$\frac{1}{2}×\frac{100}{101}$
=$\frac{50}{101}$.
故答案为:$\frac{50}{101}$.
$\frac{1}{x(x+2)}$+$\frac{1}{(x+2)(x+4)}$+$\frac{1}{(x+4)(x+6)}$+$\frac{1}{(x+6)(x+8)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}$)+$\frac{1}{2}(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+4})$+…+$\frac{1}{2}(\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+8})$
=$\frac{1}{2}×$($\frac{1}{x}-\frac{1}{x+8}$)
=$\frac{1}{2}×$$\frac{8}{x(x+8)}$
=$\frac{4}{x(x+8)}$.

点评 本题主要考查的是分式的加减,依据拆项裂项法求解是解题的关键.

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