Question

2．如图，过圆O直径的两端点M、N各引一条切线，在圆O上取一点P，过O、P两点的直线交两切线于R、Q．
（1）求证：△NPQ∽△PMR；
（2）如果圆O的半径为$\sqrt{5}$，且S_△PMR=4S_△PNQ，求NP的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明两角对应相等即可证明．
（2）作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，先证明△OMR≌△ONQ，得到OR=OQ，MK=FN，由题意S_△PMR=4S_△PNQ，推出PR=4PQ，即2$\sqrt{5}$+a=4a，求出a，然后利用勾股定理求出QN、利用面积法求出FN，再利用勾股定理即可解决问题．

解答 （1）证明：∵NQ、RM是⊙O切线，
∴NQ⊥MN，MR⊥MN，
∴NQ∥MR，
∴∠Q=∠R，
∵MN是直径，
∴∠MPN=∠MNQ=90°，
∴∠MNP+∠NMP=90°，∠MNP+∠PNQ=90°，
∴∠QNP=∠NMP，
∵OM=OP，
∴∠OPM=∠OMP，
∴∠QNP=∠RPM，
∴△NPQ∽△PMR．
（2）解：作NF⊥RQ于F，MK⊥RQ于K，连接ME，
在△OMR和△ONQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠R=∠Q}\\{∠RMO=∠QNO}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△OMR≌△ONQ，
∴OR=OQ，MK=FN（全等三角形对应边上高相等）
∵OE=OP，
∴RE=PQ，时PQ=RE=a，
由题意S_△PMR=4S_△PNQ，
∴PR=4PQ，即2$\sqrt{5}$+a=4a，
∴a=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$．
在RT△ONQ中，∵∠ONQ=90°，ON=$\sqrt{5}$，OQ=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$，
∴NQ=$\sqrt{O{Q}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∵$\frac{1}{2}$•OQ•FN=$\frac{1}{2}$•ON•QN，
∴FN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
在RT△OFN中，∵∠OFN=90°，ON=$\sqrt{5}$，FN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴OF=$\sqrt{O{N}^{2}-F{N}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
在RT△PNF中，∵∠PFN=90°，PF=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，FN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴PN=$\sqrt{P{F}^{2}+F{N}^{2}}$=2．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，面积法求高等知识，解题的关键是添加辅助线，学会灵活运用勾股定理、面积法，属于中考常考题型．