Question

4．如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD=BD，AD与BE交于点F，连接CF，求证：BF=2AE．

Answer 1

分析 求出∠ADC=∠BDF，∠DAC=∠DBF，根据ASA推出△BDF≌△ADC，根据全等得出AC=BF，根据等腰三角形的性质求出AC=2AE，即可得出答案．

解答 证明：∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠AEB=∠ADC=∠BDF=90°，
∵∠AFE=∠BFD，∠FBD+∠BDF+∠BFD=180°，∠AEB+∠AFE+∠DAC=180°，
∴∠DAC=∠DBF，
在△BDF和△ADC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠DAC}\\{BD=AD}\\{∠BDF=∠ADC}\end{array}\right.$
∴△BDF≌△ADC，
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，
即AC=2AE，
∴BF=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的性质，能求出△BDF≌△ADC是解此题的关键．