Question

如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥y轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于y轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为m，△BED的面积为S．

（1）当时，求S的值．

（2）求S关于的函数解析式．

（3）①若S＝时，求的值；

②当m＞2时，设，猜想k与m的数量关系并证明．

Answer 1

（1）；（2）；（3）①；②，证明见解析．

【解析】（1）∵点A是抛物线上的一个动点，AE⊥y轴于点E，且，

∴点A的坐标为．∴当时，点A的坐标为．

∵点B的坐标为，∴BE=OE=1．

∵AE⊥y轴，∴AE∥x轴． ∴△ABE∽△CBO．∴，即，解得．

∵点D与点C关于y轴对称，∴．

∴．

（2）①当时，如图，

∵点D与点C关于y轴对称，∴△DBO≌△CBO．

∵△ABE∽△CBO，∴△ABE∽△DBO ．∴．∴

∴．

②当时，如图，同①可得

综上所述，S关于的函数解析式．

（3）①如图，连接AD，

∵△BED的面积为，∴．∴点A 的坐标为．

设，∴．

∴．

∴．

②k与m的数量关系为，证明如下：

连接AD，则

∵，∴．

∴．

∵点A 的坐标为，∴．